E = mc2, ein Weg zu Einsteins Formel
Das Bild zeigt Albert Einstein bei einem Vortrag in Pittsburgh im Jahre 1935. Es wurde ausgewählt, weil man auf der Tafel die beiden zentralen Begriffe Impuls und Energie dieses Aufsatzes findet. Beide Begriffe werden hier nicht definiert. Es wird vielmehr ein anschauliches Bild verwendet, das der Orientierung dient.
Impuls und Energie sind mengenartige Größen.
Impuls kann fließen. Impuls ist eine Erhaltungsgröße
Wie ein Gefäß Wasser enthalten kann, kann ein Körper Impuls enthalten (wenn er sich nämlich im Inertialsystem eines Beobachters bewegt).
Die beiden folgenden geometrischen Veranschaulichungen für ein mit Wasser gefülltes Gefäß und einen Impuls enthaltenden Körper sind daher sehr ähnlich. Sie zeigen die Entsprechungen:
V = A⋅h
p = m⋅v
Ein bewegter Körper enthält Impuls
Ein Produkt geometrisch als Flächeninhalt eines Rechtecks darzustellen, ist keine Spielerei sondern sozusagen „Quelle“ einer für das Folgende bedeutsamen Idee.
Diese Idee ist nicht eine logische Konsequenz sondern eine freie Erfindung, deren Berechtigung sich erst noch erweisen muss.
Das ist kein Mangel sondern charakteristisch für die Naturwissenschaft!
Hier erschließt sich, dass die Naturwissenschaften wesentlicher Bestandteil dessen sind, was man gemeinhin als „Bildung“ bezeichnet auch und gerade für diejenigen, die Naturwissenschaft oder Technik nicht zu ihrem Beruf machen.
(Feynman)
Wenn man in ein Gefäß mit unveränderlichem Querschnitt Wasser einfüllt, wird der Wasserstand steigen, fügt man einem Körper Impuls zu, so steigt seine Geschwindigkeit.
Nun gilt aber das Prinzip der Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit, d. h. dass die Geschwindigkeit eines Körpers die Lichtgeschwindigkeit c nicht überschreiten kann.
Für ein Gefäß mit Wasser wäre das Analogon, eine bestimmte Füllhöhe kann nicht überschritten werden. Das muss aber nicht unbedingt heißen, dass bei Erreichen dieser maximalen Füllhöhe ein weiteres Einfüllen von Wasser unmöglich ist. Es ist ein Gefäß denkbar, das sich mit zunehmendem Wasserinhalt weitet, bei dem also A zunimmt. Je mehr man sich der maximalen Füllhöhe nähert, desto mehr resultiert aus dem Zufluss von Wasser die Zunahme des Querschnittes A.
Im Falle des Impulses muss man mit zunehmendem Impuls die Zunahme der Masse annehmen. Bekanntlich ist dies eine Konsequenz der Relativitätstheorie. Hier wird das als eine „nahe liegende“ Annahme angesehen, deren Konsequenzen studiert werden.
Hier mus einem möglichen Missverständnis vorgebeugt werden. Massenzunahme bedeutet nicht, Zunahme der Anzahl deer Moleküle, aus denen der Körper besteht. Die Bedeutung ergibt sich als Konsequenz der Überlegungen.
Zuerst wird die Funktion m(v) mit Hilfe von Plausibilitätsbetrachtungen abgeleitet. Dazu dient die grafische Darstellung. Die Zuführung von Impuls führt nicht nur zu einer Zunahme der Geschwindigkeit, sondern auch zu einer Zunahme der Masse. Diese dominiert umso mehr, je mehr man sich c (-c) nähert. Daraus ergibt sich der ungefähre Verlauf des Grafen der Funktion m(v). Für die Funktionsgleichung bietet sich der Ansatz an
m0 ist dabei die sogen. Ruhemasse eines Körpers, d. h. die Masse, die ihm ein Beobachter zuschreibt, für den der Körper ruht. Der Ansatz hat notwendige Eigenschaften: m(0) = m0 und die Masse nimmt über alle Grenzen zu, wenn sich v c (-c) nähert. Die Funktion ist allerdings auch für v > c (v < -c) definiert und beinhaltet daher nicht die Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit. Dieser Mangel lässt sich beheben durch die Korrektur :
Die Abb. zeigt die grafische Darstellung dieser Funktion.
Aus mathematischer Sicht ist dies nicht die einzige Korrekturmöglichkeit. Aus physikalischer Sicht wird man sich für diese Variante bevorzugt entscheiden, weil sie einfach ist.
Ihre Berechtigung entscheidet sich an der Antwort auf die Frage, ob sich daraus ergebende Konsequenzen mit der Natur in Einklang sind.
Für den Impuls erhält man:
und daraus
Die Abbildung zeigt die graphische Darstellung der Funktion v(p) für p > 0.
Wenn in einen Körper Impuls hinein fließt (und nicht wieder heraus), fließt auch Energie in den Körper. Impuls kann als ein Transportmittel für Energie angesehen werden, wenn er mit Energie beladen ist. Die (Momentan-) geschwindigkeit ist dabei das „Beladungsmaß“: dW = v⋅dp (Impuls).
Die mit dem Energieträger Impuls einem Körper zugefügte Energie bezeichnet man als kinetische Energie.
Für diese gilt also:
Über den Term m0c2 war Einstein selbst überrascht. Wenn man die bisherigen Überlegungen akzeptiert, wäre
der Energieinhalt eines Körpers. Dieser geht über die kinetische Energie hinaus. Dieser Term lässt sich bekanntlich anders darstellen:
Damit hat man die berühmte Formel W = mc2 aus einer Plausibilitätsbetrachtung abgeleitet.
Albert Einstein formuliert die Bedeutung dieser Formel so
„Die Trägheit eines Körpers ist von seinem Energieinhalt abhängig“.
Die oben angenomenne Massenzunahme ist Ausdruck der Energiezunahme,
Impuls kann negative Werte annehmen